J’avais prévu de vous faire plein de post en Maths mais il faut avouer que Yvan Monka excelle dans le domaine et que je préfère vous renvoyer à son site plutôt que de refaire la même chose en moins bien (que ce soit les vidéos ou les cours)

https://www.maths-et-tiques.fr/

L’addition, voilà un sujet simple et complexe à la fois!

Déjà vous êtes vous déjà demandé pourquoi compte-t-on en base 10 ? évident on a 10 doigts!

Mais alors pourquoi les heures se comptent par 24 ?

Parce que ceux qui ont inventé ce système comptaient sur 3 phalanges des 4 doigts de la main (sans le pouce) et donc avec 2 mains à fait 24 phalanges.

Les mayas eux utilisaient un système mixte en base 5 et en base 20.. on comprend rapidement pourquoi.

 

Bref, avant de parler d’addition dans d’autre base je vais vous parler d’addition dans la base 10. Prenons par exemple: 19 + 7. Il vous parait évident que le résultat de cette addition est 26.

Mais parfois des élèves vont vous dire que cela fait 116. A votre avis que s’est il passé?

Et bien quelque chose comme cela:

  D U
1 9
+ 7
                 = 1 16

Ils ont additionné les unités avec les unités et les dizaines avec les dizaines. Or vous savez tous qu’il faudrait qu’une fois la dizaine complétée il faut la passer dans la « case » d’après ou la classe d’au dessus. Du coup, on obtient 26!

Donc, on est bien d’accord que dans une colonne les chiffres vont de 0 à 9.

Alors regardons comment faire dans une autre base.

Prenons par exemple l’addition en base 4. Les chiffres utilisés seront 0, 1, 2 et 3.

  D U
1 1
+ 3
                 =

 

1 + 3 = 4, quand on arrive à 4 c’est comme quand on arrive à 10 en base décimale. Donc, on ne va pas écrire 4 dans la case résultat des unités, on va ajouter un à la dizaine et zéro dans la case des unités puisque atteindre 4 veut dire avoir une dizaine complète.

Du coup on obtient:

  D U
1 1
+ 3
= 2 0

 

Si l’on refait l’exercice en base 5 par exemple, en additionnant: 3 + 4.

Je vous détaille mon raisonnement mais qui n’est pas à écrire ainsi sur la copie: 3 + 4= 7 = 5 (la dizaine en base 5) + 2

Sur la copie j’écris: 3 + 4 = 12 en base 5

Pour améliorer la compréhension je reprends un exemple en base 10:  6 + 8 = 14= 10 ( la dizaine)  +4

Donc il faut comprendre que quelque soit la base lorsque la somme de 2 chiffres ( ou plus) est supérieure ou égale à base considérée alors il faut le décomposer de manière canonique. Et qu’on ajoute alors une unité à la dizaine.

Reprenons l’exemple 19+ 7 = 26 en base 10. La difficulté de compréhension dans le changement de base vient du fait que dans notre système décimale la dizaine se traduit par 1 et 0 c’est à dire 10. Et qu’après on ajoute une retenue égale à 1 à la case supérieure. Cela induit la confusion puisqu’on associe le 1 de 9 +7 = 16 ( dans les unités) au 1 de la retenue. Or ils n’ont rien à voir.

 

Une fois que l’on a compris le principe de décomposition du nombre en base 10  alors il est aisé de passer d’une base quelconque à une base 10.

Prenons par exemple le nombre 2012 en base 3.

Si je suis en base 3 alors cela veut dire que le nombre se décompose en puissance de 3. Le tableau ci-après vous indique la correspondance entre les différents rangs et les puissances de 3.

Centaines de milles Dizaines de milles Milles Centaines Dizaines Unités
3⁵ 3⁴
3⁰

 

Donc en plaçant le nombre choisi dans l’exemple dans le tableau en base 3: 1

Milles Centaines Dizaines Unités
2 0 1 2

 

Donc pour revenir en base 10 il suffit d’écrire: 2012 (base 3) = 23³ + 0 x +1 x 2 x 3⁰ =    59 (en base 10) 

 

Pour vous entraînez essayer avec

4067 ( base 8)

240 (base 5)

111 ( base 2)

Changer de base en maths c’est un peu comme comprendre la correspondance grapho-phonétique. On n’a pas l’impression qu’il y ait une grande logique ou en tout cas au premier abord ça ne saute pas aux yeux.

J’espère qu’après mon petit laïus sur le sujet vous y verrez plus clair.

Prenons un exemple:

293 ( base 10) , quelle est son écriture en base 3 par exemple?

  • Premièrement quand vous écrivez un nombre dans une base alors aucun des chiffres utilisés dans cette base ne peut être égale ou supérieur à celui de la base.

Donc en base 3, les chiffres utilisés sont 0, 1 et 2. Et en base 10, on a 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8 et 9..

Donc a votre avis en base 6??

Et bien on aura 0, 1, 2, 3, 4 et 5

Cela donne déjà une bonne indication si vous avez à vérifier la validité d’un nombre écrit dans une autre base.

 

  • Deuxièmement,  je vais vous apprendre ( à l’envers oui oui) comment passer d’une base à l’autre. Je dis bien à l’envers parce que le jour J il ne faut pas faire cela sur la copie. Mais chut personne ne corrigera votre brouillon. Et puis perso, cela m’a permis de comprendre.

Revenons à notre exemple: 293 ( base 10)=> ?(base 3)

Alors moi je commence par me faire un petit tableau comme cela:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 3^0=1

Comment je sais où je dois m’arrêter dans les puissances de 3? C’est parce que 729>293>243 donc 3^6>293>3^5.

Après, je démarre à gauche du tableau et  je me demande combien de fois j’ai 3^5 dans 293. Je l’ai 1 fois. Donc dans mon tableau:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1          
293-1×243=50

Une fois que j’ai enlevé 243 de 293 il ne me reste plus que 50.

Après je regarde 3^4, combien de fois j’ai 81 dans 50 ? et bien 0 car 81>50.  Donc dans  mon tableau, j’écris:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1 0        
293-1×243=50

je continue et je regarde 3^3? Combien de fois j’ai 3^3 dans 50? Je l’ai 1 fois. Dans mon tableau cela se traduit ainsi:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1 0 1      
293-1×243=50 50-1×27=23

Il me reste 23.

Combien de fois ai-je 3^2 dans 23? 2 fois car 9×2=18 et 18<23. Dans le tableau, je l’écris ainsi:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1 0 1 2
293-1×243=50 50-1×27=23 23-9×2=5

 

Puis je me demande combien de fois j’ai 3^1 dans 5, je l’ai 1 fois donc il me reste 2:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1 0 1 2 1  
293-1×243=50 50-1×27=23 23-9×2=5 5-1×3^1= 2

Enfin combien de fois ai-je 3^0 dans 2, je l’ai deux fois donc:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1 0 1 2 1 2
293-1×243=50             – 50-1×27=23 23-9×2=5 5-1×3^1= 2 2-2×3^0=0

 

Donc l’écriture en base 3 de 293 est 101212

 

Le jour du concours vous écrirez sur la copie :

293= 3^5×1+3^4×0+3^3×1+3^2×2+3^1×1+3^0x2.

Chercher à écrire un nombre de la base 10 dans une autre base dite n revient à le décomposer en puissance de n.

 

Entraînez vous par exemple avec :

2034 (base 10)=> ? base 2

2675 ( base 10) => ? en base 7

36( base 10) => ? base 2

Dénombrer c’est répondre à la question  » combien? ». Dénombrer consiste à utiliser un moyen approprié pour exprimer une quantité d’unités par un nombre.

 

Il existe trois méthodes de dénombrements:

  • le tableau à double entrée,
  • l’arbre de choix,
  • le raisonnement sans support.

 

Prenons par exemple le problème suivant:

La directrice fait une enquête auprès de 150 élèves pour les activités périscolaires (atelier photo et atelier peinture)
116 élèves déclarent aimer la photo, 52 la peinture et 40 aiment les deux? 
1) Combien d’élèves n’aiment que la peinture?
2) Combien d’élèves n’aiment ni l’un ni l’autre?

La résolution sans support pour commencer:

  1. Il y a 52 élèves qui aiment la peinture et 40 élèves qui aiment la peinture et la photo. Donc, il y a 52-40=12 élèves qui n’aiment que la peinture.
  2. Il y a 150 élèves dans l’école. 116 aiment la photo mais 40 aiment la photo et la musique donc il n’y a que 116-40= 76 élèves qui n’aiment que la photo.  Alors le nombre d’élèves n’aimant ni l’un ni l’autre est 150-(76+12+40)= 22

La résolution par tableau à double entrée

  Élèves qui aiment la photo Élèves qui n’aiment la photo Total élèves
Élèves qui aiment la peinture 40 12 52
Élèves qui n’aiment pas la peinture 76 22 98
Total élèves 116 34 150

 

 

La résolution par l’arbre de choix n’est vraiment pas adapté ici. Elle se prête beaucoup mieux à un problème du type:

Antoine a 1 pantalon  , 2 t-shirt ( un bleu ou un rouge) et 2 paires de chaussettes (  rayées ou à pois). Combien de tenues possibles Antoine a -t-il?

 

chaussettes rayées

T-shirt rouge

pantalon                                                                  chaussettes à pois

chaussette rayées

T-shirt bleu

chaussette à pois

 

Il y a donc 4 tenues différentes possibles.

 

 

 

Un système de numération est caractérisé par un ensemble de symboles (chiffres) et de procédés d’assemblage de ces symboles.

On distingue trois types de numérations:

  • les numérations figurées (jetons, marque au sol, ..)
  • les numérations orales: dépendantes de la numérations figurées ou écrites,
  • les numérations écrites (utilisation d’un nombre limité de symboles)

Les systèmes de numération additifs:

  1. le système égyptien, les chiffres égyptiens  ont la forme de hiéroglyphes,
  2. le système romain, présente une particularité due au fait qu’un chiffre d’un signe supérieur au suivant placé à gauche se retranche,

L’inconvénient de ses systèmes de numération est d’une part que pour l’écriture d’un grand nombre, il faut écrire un grand nombre de symboles. Et que pour les nombres les plus grands, il aura fallu inventer de nouveaux symboles. Et d’autre part, les calculs sont difficiles à effectuer.

Les systèmes de numération de type positionnel:

Plusieurs systèmes de numération ont été conçu en attribuant aux symboles une valeur différente selon leur forme mais également selon le rang occupé dans l’écriture du nombre:

  1. le système babylonien, en base 60, s’écrit à partir de symbole représentant l’unité, la dizaine puis la quantité 60. Une dizaine écrite en première position se lira 601, en deuxième position se comprendra comme 602….Le problème de ce système de numération est l’absence de zéro pour marquer les vides. Par exemple: le décompte des heures, minutes et des secondes en base 60 est un héritage du système de numération babylonien. 1h =60 min, 1min=60 sec.. Pour ce qui est du nombre d’heures dans une journée, certains disent que les babyloniens comptaient sur les phalanges des 4 doigts (hormis le pouce), ainsi on a 12 phalanges par main soit 24 h en tout ( mes élèves adorent quand je le leur explique).
  2. le système maya, en base 20, présente une écriture lourde malgré la présence du zéro car il n’existe que 3 symboles.
  3. le système binaire, en base 2, n’emploie que des 0 et des 1.
  4. le système de numération décimale, en base 10, emploi des symboles, des chiffres allant de 0 à 9.

La valeur d’un signe dépend de son rang dans l’écriture du nombre, l’ordre est stable.

La méthode de groupement est régulière: on groupe par 10 pour passer au rang supérieur,

Le nombre de signes différents (0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9) qui permet l’écriture d’un nombre est égale à la base (10).

Un des signes a pour fonction de signaler l’absence de groupement à un certain rang: c’est le zéro.

 

Un nombre est composé de chiffre, ainsi tout nombre en base 10 s’écrit:

abcdefgh (base 10)= a*107+b*106+c*105+d*104+e*103+f*102+g*101+h*100

 

A l’oral, nous avons besoin de 23 mots nombres pour exprimer les chiffres jusqu’à 999: zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize,vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, cent

Les nombres permettent de:

  • représenter les quantités: c’est l’aspect cardinal du nombre,
  • représenter une place, un rang, une position: c’est l’aspect ordinal du nombre,
  • anticiper les résultats.

Il est possible de « percevoir » les quantités, de les comparer ou de les faire varier sans avoir recours aux nombres et cela:

  • visuellement (constellation de points) ,
  • distribution (l’élève distribue toutes les cartes en sa possession à ses camarades et regarde ce qu’il reste)
  • en établissant une correspondance terme à terme entre les éléments des collections. On  dit alors que les collections sont équipotentes si elles ont le même cardinal.

Ces procédures, dites non numériques, ont leurs limites. Elles ne permettent pas la mémorisation, ni la communication de la quantité.

 

Point vocabulaire:

Collection: est un ensemble d’éléments regroupés ensemble. Par exemple: une collection de 5 poupées.

La collection peut être témoin ou de référence, si c’est celle qui sert de point de départ au raisonnement. Par exemple: le PE demande à l’élève de chercher juste ce qu’il faut d’assiettes pour le repas des poupées. La collection de référence est composée par les poupées.

 

Chaîne numérique ou bande numérique: c’est une succession ordonnée de l’ensemble des entiers naturels.

Les principales procédures utilisées par les élèves de cycle 1 sont :

Procédure pour trouver une quantité:

  • comptage ou recomptage: mémorisation de la suite orale des nombres et dénombrement en utilisant la suite orale.
  • surcomptage (lorsque l’on associe deux collections) l’enfant part du résultat d’une des collections et commence à compter l’autre. Comptage en avant.
  • décomptage (trouver les nombres qui restent)
  • double comptage.

 

Le troisième axe sur lequel il est nécessaire de travailler avec les élèves est la comparaison de la quantité: qui de la collection A ou B à le plus d’objet, complète la collection A pour avoir autant d’objet que dans la collection B.

Procédure pour comparer les quantités:

  • correspondance terme à terme ou par paquet (PS ou MS),
  • dénombrer par subitizing (instantané) ou par comptage de un en un (GS),

La numération est la clé de voûte du cycle 2. Sa compréhension conditionne les autres apprentissages, les techniques opératoire, la compréhension du nombre fractionnaire ou décimal abordé au cycle 3.

 

Le CP marque le passage  du nombre  outil (utilisé comme une simple étiquette pour mesurer un quantité ou donner un rang) au nombre objet d’étude (l’étude du nombre pour lui même et la compréhension du système décimal).

Ce passage est marqué par 3 étapes:

  1. l’approche globale basée sur l’oral (file numérique, .. ) : l’élève se situe alors dans le registre verbal, il mémorise la suite orale des nombres, puis sur la file numérique il établit un lien entre le mot-nombre dit et la désignation chiffré ou symbolique du nombre.
  2. l’aspect algorithmique des écritures chiffrées : l’élève comprend qu’il n’existe que 10 chiffres pour écrire tous les nombres et que la valeur d’un chiffre est donné par sa position dans le nombre
  3. le groupement par 10 et les échanges. Par exemple : le jeu du banquier. 

L’écriture en lettre est introduite progressivement et seulement lorsque les élèves savent lire les écritures chiffrées correspondantes. Au CE1, les connaissances sur les nombres entiers sont consolidées et le champs numérique est étendu. Les compétences en calcul sont accrues.

 

La relation quantité -écriture en chiffre

  • Le codage, c’est à dire le passage d’une quantité à une écriture chiffrée, peut être réalisé par l’élève selon les procédures suivantes:
  1. représenter la quantité d’objets par un groupement successifs réguliers de 10.
  2. représenter la quantité par un objet choisi à l’avance. Par exemple: 1 groupe de 10 =1 jeton rouge, 10 jetons rouge =1 jeton bleu..
  • Le décodage, c’est à dire le passage de l’écriture chiffrée à la quantité, peut être réalisé sous la forme d’une collection dont le nombre d?objets est donné par son écriture en chiffre: boules, carnet de timbres..

 

A l’issu du cycle 2, l’élève doit avoir compris les principes de

  • régularité des groupement successifs par 10,
  • égalité : 1d=10 u et 10 d=1 c,
  • positionnel du nombre, c’est à dire que la valeur d’un chiffre est donnée par la place qu’il occupe dans le nombre,
  • absence d’unité, de chiffre est marqué par le zéro,
  • décomposition.

La comparaison de nombres entiers

on distingue deux procédures:

  • la procédure experte: a et b deux nombres différents, alors le plus grand est celui qui à le plus de chiffres. Si a et b ont le même nombre de chiffres, l’élève regarde le chiffre le plus à gauche de chaque nombre et les compare, etc…
  • la procédure personnelle:  l’élève se représente les quantités en faisant des groupements de 10, de 100 ou de 1000) ou l’élève a un raisonnement du type comparaison des milliers puis des centaines..

Les erreurs que  les plus fréquentes sont :

  • 56>225 , l’élève a juste comparé le premier chiffre sans s?intéresser au nombre de chiffre du nombre,
  • 51<29, l’élève a additionné les chiffres de chaque nombre
  • la non maîtrise des symboles « < » et « > »,
  • 527<438, l’élève a comparé à partir du chiffre le plus à droite et non le plus à gauche.

Les suites de nombres